Проверить зарядку очень просто без всяких СТО - заведите автомобиль, включите дальний свет и печку, замеряйте вольтметром (тестером) напряжение на клеммах аккумулятора. Если напряжение в пределах 13,8-14,6, то все нормально. Если при нормальных значениях напряжения аккумулятор утром не крутит, то вполне возможно, что у Вас есть скрытая утечка энергии при заглушенном автомобиле. Попробуйте установить выключатель "массы".

По моему мнению, все зависит сколько эта самая франшиза денег. У разных страховщиков эта сумма колеблется прилично. Если деньги не очень большие, то вряд ли стоит обращаться в суд, время потеряете да и адвокат не за спасибо работает. Следует внимательно посчитать стоит ли овчинка вычинки.